waves-propagation
Распространение волн в неоднородных дискретных средах
PDF-файл с аналитическим решением: ANALYTICAL EXPRESSIONS.
Код на Python для цепочек: 
Код на Python для решёток:
Далее представлен краткий обзор результатов (численных экспериментов + аналитических выводов) и вопросы.
Содержание
-
Случай нулевой и отрицательной жёсткости на границе двух цепочек
-
Мысленный эксперимент. Волна падает на интерфейс двух решёток под углом
Случай нулевой и отрицательной жёсткости на границе двух цепочек
При нулевой жёсткости на границе волновой пакет отражается:
Мысленный эксперимент. Волна падает на интерфейс двух решёток под углом
Из дисперсионного соотношения:
Пусть волна падает на интерфейс под углом $\gamma=\pi/4$. Тогда проекции волнового вектора $k_1^x=k_1^y$.
Пусть выполняется закон синусов для преломления, тогда $k_1^y=k_2^y$. Индекс 1 - для падающей волны; индекс 2 - для проходящей.
Тогда для падающей волны дисперсионное соотношение запишется в виде:
\[m_1\Omega^2=4C\left(\sin^2{\frac{k_1^x a}{2}+\sin^2{\frac{k_1^xa}{2}}}\right)\]Для проходящей волны:
\[m_2\Omega^2=4C\left(\sin^2{\frac{k_2^x a}{2}+\sin^2{\frac{k_1^xa}{2}}}\right)\]Пусть $m_2=0.5m_1$. Тогда из последних двух равенств следует, что $k_2^x=0$.
Вывод. Волна, падающая под углом $\gamma=\pi/4$ не пройдёт через интерфейс, если $m_2\leqslant 0.5m_1$. Этот вывод не согласуется с компьютерным экспериментом.
Мониторинг энергий в системе
Полная энергия в системе сохраняется.
В однородной решётке при невысокой частоте (трансформация в эллипс):
При наличии интерфейса:
При наличии интерфейса под углом:
Для цепочек:
В однородной решётке при частоте, близкой к максимальной (трансформация в ромб с закруглёнными вершинами):
В однородной решётке при максимальной частоте:
Вопросы
-
Почему со временем происходит закругление и расплытие волнового пакета в однородной решётке?
-
По решению алгебраического уравнения для определения волнового числа $k$ из дисперсионного соотношения в случае распространения волны под углом $\gamma$ к оси $Ox$. Сейчас в коде решаю это уравнение численно. Вид уравнения относительно $k$:
-
Существуют ли углы, при которых волна полностью отражается или полностью проходит через границу двух решёток?
-
При $k^x<\frac{\pi}{2a}$ и при $k^x>\frac{\pi}{2a}$ разное поведение волнового пакета, бегущего по однородной решётке?
-
Почему строить скорости лучше, чем перемещения?
-
В презентации: что значит резкий и плавный переходы? Постепенное изменение массы (или жёсткостей) на границе?
-
Выражение для энергии пружины с отрицательной жёсткостью?
-
Моделирование волны под углом к интерфейсу или интерфейс под углом к векторам решётки?
Наблюдения
- В решётке могут распространяться волны с большей частотой, чем в цепочке (так как есть возможность распространяться под углом к векторам решётки)
Заметки по коду
-
Сделать возможность вывода на график (монитор энергий) значения с произвольным шагом по времени (сейчас дробные шаги могут выдавать ошибку)
LaTeX formulas are rendered by MathJax.